気になる数学

Zornの補題に関するノート

大学数学

今日、スタート代数という勉強会に参加予定ですが、ちょっと予習＋αの準備ということでノートしときます。

えー、タイトルの通り「Zornの補題」ですね。
選択公理(axiom of choice)や整列可能定理と同値な定理ですが、どういった定理なのか、必要最低限な言葉の準備です。

順序集合
- 集合に対し、順序がが定まっているとは、次の3つの公理が成立していることを言うに対して、、、
  - (1) $a\prec a$
  - (2) $a\prec b, b\prec a \Rightarrow a=b$
  - (3) $a\prec b, b\prec c \Rightarrow a\prec c$

全順序集合
- 集合が全順序集合であるとは、
  - (1) $A$ が順序集合である
  - (2) 任意の $a,b\in A$ に対して、 $a\prec b$ もしくは $b\prec a$ のいずれかが成立する

上限
- 集合の中に上限がある、とは、
  - (1) $A$ が順序集合である
  - (2) $x\in A$ が存在し、任意の $a\in A$ に対して、 $a\prec x$ である

このとき、 $x\in A$ が一意かどうかは分からんw

で、こやつらを総動員して「帰納的」な集合の定義。

帰納的な順序集合
- 集合が帰納的な順序集合とは、次を満たすこと
  - (1) $A$ が順序集合である（まー、これは当たり前やね）
  - (2) $A$ が空でない全順序部分集合 $A\prime$ が、 $A$ の中に上限をもつ

でもって、準備の最後がコヤツ：

極大元
- 順序集合 $A$ に対して、 $a\in A$ が極大元であるとは、 $a\prec b$ かつ $a\neq b$ となる $b\in A$ が存在しないこと

、、、長いな。。以上を元に、Zornの補題を述べると、

Zornの補題：帰納的な順序集合は、極大元をもつ