F_p(p:素数)が、体であることの証明

本日、スタート代数という勉強会に参加しました。私からは、タイトルの通り $F_p$ (p:素数)が、体であることの証明をつけたいと思います。まずは、、、

整数 $a, b$ の最大公約数を $d$ とすると、
$ax+by=d$
をみたす整数 $x, y$ が存在する

証明の細かい部分はここでは述べないですけれど、Euclidの互除法そのままですね*1

$p$ が素数のとき、 $F_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が、体である

(proof)演算がwell-defined, 可換環であることは自明。
$\forall \bar{a}\in F_p-\{ 0\}$ に対して、 $\bar{a}\bar{x}=1$ となる $\bar{x}\in F_p$ が存在することを示せばよい。
$p$ は素数だから $a, p$ は互いに素なので上記の命題より $ax+py=1$ となる整数 $x, y\in\mathbb{Z}$ が存在する。*2
このとき $ax\equiv 1$ (mod p)。すなわち、 $\bar{ax}=\bar{1}=1$ が成立するから、 $\bar{a}$ は可逆である。■

今日のセミナーでは、なかなか個性的なメンツが集まっていて久々こゆい理系話で盛り上がりました（大汗）
昨日は、夜な夜なアルゼンチンタンゴのミロンガ*3で浮ついた話ばかりしていたので、脳みそがシャキッとしましたw たまには(w)こういう日があってもいいかな、とも思うので、予定が合えば今後も参加してみたいですね〜♪

＞参加したみなさま
実数、複素数、Hamiltonの四元数などを体系的に扱った代数は、Clifford代数と呼ばれます〜。他にもいろいろ話した気がしますが、懲りずにご説明しますので聞いて下さい:)

*1:興味があれば、Wikipediaの「ユークリッドの互除法」をckしてみて下さい

*2:a,pの最大公約数は1ですからね

*3:小さなパーティー