Dirichlet指標の定義 - 気になる数学

$N$ を正の整数とし、写像 $\chi: Z \to C$ で

$\chi (m+N)=\chi(m), for \forall m\in Z$
$\chi (mn)=\chi (m) \chi (n), for \forall m,\forall n\in Z$
$\chi (m) = 0 \Leftrightarrow (m,N) \ne 1$

という性質を持つものをmodulo $N$ で定義されたDirichlet指標(Dirichlet character)と呼ぶ。

モチ、 $(*,*)$ の記号は、最大公約数を表す。
一番最初の条件から、事実上 $Z/NZ \to C$ 上の写像と考えることも出来る。
二番目は「乗法性」ですな。大学１年で習う／勉強するところの「準同型写像」ですな。*1
三番目は、"マヌケな写像"を排除するための"お決まり"。（例えば、 $\chi(m)=0, for \forall m\in Z$ も一番目と二番目の条件を満たすけれども、全部 $0$ になる写像だから、後々の議論で不必要なら今のうちに抜いとけって話。（指標全体を考えるときとかね。数学の本を読むときに、三番目の式に拘ってると時間ばっかりつぶしてしまうことが多い）

Wikipedia:ディリクレ指標による説明も、念のためリンクしておこう。

*1:全く関係ないけれども「準同型定理」ていうのは、「準同型写像を使った定理」という意味だけれども主張の意味は「同型定理」。今考えても、やっぱり紛らわしいなー。因みに準同型 $f:G \to H, G, H: group$ に対して、 $Im (f)=G/ker (f)$ という至極シンプルな主張。線形代数で言うところの「次元定理」にも応用が効くんですよん♪