マグニチュードが0.2増えるとどうなる？

先日(2011/3/11)の大地震の時、はじめは「マグニチュード8.8」と発表された後、
「マグニチュード9.0」に修正されました。

その報道の際、「マグニチュードは0.2だけ増えましたが、地震のエネルギーは2倍になりました」
という表現が使われていました。
どう計算すると「マグニチュード0.2の差異が（地震の）エネルギーとして2倍異なるようになるのか」
について解説してみたいと思います。

Wikipediaによれば、地震のエネルギー $E$ とマグニチュード $M$ の間には、
$\log_{10} E=4.8+1.5M$
の関係が成立していると言われます。詳しくはWikipediaのマグニチュードのページをご参照あれ。

それで、

マグニチュードが8.8の時のエネルギーが $E_1$
マグニチュードが9.0の時のエネルギーが $E_2$

とすると、上の式より
$\log_{10} E_1=4.8+1.5\times 8.8$
$\log_{10} E_2=4.8+1.5\times 9.0$
が成立します。両式を引き算すれば、
$\log_{10}E_2-\log_{10}E_1=1.5\times 0.2$
ですね。対数の公式
$\log_a(N_1)-\log_a(N_2)=\log_a\frac{N_1}{N_2}, \hspace{2} where \hspace{1} a\neq 1, N_1,N_2>0$
を思い出せば、左辺 $=\log_{10}\frac{E_2}{E_1}$
よって上の式は
$\log_{10}\frac{E_2}{E_1}=0.3$
対数の定義より
$\frac{E_2}{E_1}=10^{0.3}\simeq 1.995$
つまり
$E_2\simeq 1.995\times E_1$
となります。マグニチュードが8.8から9.0になった時、地震のエネルギーは1.995倍（≒2倍）となることが分かりました。