るーと２が無理数であること

今日も昨日に引き続き、電車で証明モノ♪

（証明）
$\sqrt 2$ が無理数でないと仮定。（背理法の仮定ってヤツ）
$\sqrt 2=\frac{n}{m}$ ( $m,n$ は互いに素な整数)と書ける。
このとき $2=\frac{n^2}{m^2}$ つまり $2m^2=n^2$ 。

すると、 $n$ は2の倍数でなければならないから、 $n=2p$ ( $p$ は整数)と書ける。
上の式に代入すると、 $2m^2=(2p)^2=4p^2$
よって、 $m^2=2p^2$ 。
同様に $m$ も2の倍数だから、 $m,n$ の両方が $2$ を共通因数として持つため、互いに素であることに反する→矛盾。
よって、 $\sqrt 2$ は有理数ではない（つまり無理数）■