指数法則と加法定理は親戚:)

先日、数学ガール　〜フェルマーの最終定理〜という記事を書いたけれど、そこで扱われる「（指数関数の）指数法則」と「（三角関数の）加法定理」が「親戚」と言えることを思い出した。

ちょっと印象的な言い回しなのだけれど、実関数としての指数関数と三角関数 *1は一本の微分方程式の実部(real part)と虚部(imaginary part)とみなすことが出来る。

$\frac{d}{dz}f(z)=f(z),\hspace{2} f(0)=1$
これを解くと、唯一の解
$f(z)=e^z$
が出てくる*2。で、細かいことを省いて象徴的に書けば

$f(z)=e^z$ の逆関数が対数関数 $\log(z)=\log(x)+\sqrt{-1}\arg(z)$
$f(z)=e^z$ の実部が指数関数 $e^x$
$f(z)=e^z$ の虚部が三角関数 $\sin y, \cos y$

勿論、 $z=x+\sqrt{-1}y,\hspace{2} x,y\in\mathbb{R}$ 。このうち、実部、虚部を象徴的に書けば
$e^z=e^x\times e^{sqrt{-1}y}=e^x\times (\cos(y)+\sqrt{-1}\sin(y))$
だ。最後の等式はオイラーの公式 $e^{\theta}=\cos\theta+\sqrt{-1}\sin\theta$ を使った。

それで、お題目の「指数法則と加法定理は親戚」という話。実数 $a,b\in\mathbb{R}$ に対して指数法則
$e^{\sqrt{-1}(a+b)}=e^{\sqrt{-1}a}\times e^{\sqrt{-1}b}$
を考えてみよう。左辺はオイラーの公式より
$\cos(a+b)+\sqrt{-1}\sin(a+b)$
一方の右辺は、
$(\cos a+\sqrt{-1}\sin a)\times(\cos b+\sqrt{-1}\sin b)=\cos a\cos b+(\cos a)(\sqrt{-1}\sin b)+(\sqrt{-1}\sin a)(\cos b)+(\sqrt{-1}\sin a)(\sqrt{-1}\sinb)$
$=\cos a\cos b-\sin a\sin b+\sqrt{-1}(\sin a\sin b+\sin b\cos a)$
実部と虚部を比較すれば
$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b, \hspace{2}\sin(a+b)=\sin a\sin b+\sin b\cos a$
ですよね。そう、これは三角関数の加法定理ですね。複素関数の（正則関数に関する）微分方程式さえ認めれば、指数法則から加法定理を導くことが出来るんです♪

*1:つまり、高校で習うはずの指数関数と三角関数という意味

*2:大学数学を知ってる方は、正則関数(holomorphic function)とかも勉強してね〜