双子素数は難しいから三つ子素数

双子素数てのは、差が２であるような２つの素数の組のこと。 $3$ と $5$ とか、 $11$ と $13$ とかね。
同様に、三つ子素数は、差が2の3つの数字の組のこと。

（命題）三つ子素数は $3,5,7$ の一組しか存在し得ない。

（証明）
$3,5,7$ が三つ子素数なのは、定義から明らか。
また、 $n$ を4以上の整数とすると、定義から三つ子素数は $n, n+2, n+4$ と表せる。
ここで $3$ を法とした合同式で考えると、 $n+4 \equiv n+1$ 。
よって、三つ子素数は $n, n+1, n+2 ($ mod $3)$ となる。
$n$ は4以上の整数だから、いずれかは $3$ の倍数、かつ $6$ 以上。特に合成数である。

よって題意は示された■